Copyright: AUTEUR: GUIZIOU Robert, Dec  95 , Logiciel EAO


PERTURBATIONS ET EQUATIONS DE GAUSS


RUBRIQUES TRAITEES

ORBITE OSCULATRICE

EQUATIONS DE GAUSS

EQUATION DE GAUSS POUR M(t)

EQUATION DE GAUSS POUR ω

EQUATION DE GAUSS POUR i(t)

EQUATION DE GAUSS POUR Ω

EQUATION DE GAUSS POUR e(t)

EQUATION DE GAUSS POUR a(t)

MANOEUVRES IMPULSIONNELLES

RADIAL-TANGENT-NORMAL

ACCELERATION PERTURBATRICE

ORBITE REELLE ET ORBITE OSCULATRICE

PERTURBATIONS GRAVITATIONNELLES

PERTURBATIONS DUES A J2

DERIVES DUES A J2

PERTURBATION SOLAIRE

PERTURBATION LUNAIRE

TRAÎNEE ATMOSPHERIQUE

PRESSION DE RADIATION SOLAIRE

PRESSION DE RADIATION REDIFFUSEE PAR LA TERRE

HELIOSYNCHRONISME

HELIOSYNCHRONISME (figure)

PHASAGE D'UNE ORBITE

Mots clés

Equations de Gauss

Equation de Gauss donnant M(t)

Equation de Gauss pour l'argument w du périgée

Equation de Gauss pour i(t)

Equation de gauss pour l'ascension droite

Equation de gauss donnant e(t)

Equation de Gauss donnant a(t)

Manoeuvre impulsionnelle

Contrôle d'orbite par impulsions

Repère de calcul R-T-N de la perturbation

Acceleration perturbatrice

Figure de l'orbite osculatrice

Perturbations gravitationnelles

Perturbations dues à J2

Dérives dues à J2

Héliosynchronisme

Perturbation solaire

Perturbation lunaire

Freinage atmosphérique résiduel

Pression photonique

Pression de radiation solaire

Pression de radiation rediffusée

Héliosynchronisme

Satellite héliosynchrone

Satellites d'imagerie

Répétitivité

Phasage orbital

Orbite phasée


ORBITE OSCULATRICE

Sous l'effet des perturbations, une accélération perturbatrice

agit sur le satellite en plus de la gravitation, l'orbite réelle n'est plus képlérienne.

Définition: On appelle orbite osculatrice à l'orbite réelle à l'instant t, l'orbite képlérienne qui serait obtenue à l'instant t si la perturbation cessait brutalement à cet instant t. Les paramètres orbitaux sont alors fonctions du temps t--> a(t), e(t), i(t),  ω(t), Ω(t), M(t)

Voir figure

A chaque instant, il existe une orbite osculatrice particulière, cette orbite ne peut donner de prédictions correctes qu'à court terme

L'orbite osculatrice est entièrement définie à l'instant t par la donnée des vecteurs position - vitesse

L'évolution de r et V satisfait au système différentiel d'ordre 1:

En général le problème est abordé en termes d'évolution des paramètres orbitaux, ce sont les équations de GAUSS qui relient les paramètres orbitaux aux composantes de la perturbation.


EQUATIONS DE GAUSS
EQUATIONS DE GAUSS (Pour e et i non nulles)

Ces équations relient les paramètres orbitaux aux composantes de l'accélération perturbatrice.

Leur intégration donne l'évolution temporelle des paramètres orbitaux.

DONNEES:

EQUATIONS DE GAUSS DONNANT:  a(t),      e(t),     i(t),     ω(t),     Ω(t),     M(t)

On complète le système différentiel par les équations classiques:

NB: pour la traduction des équations de Gauss appliquées aux orbites circulaires ou d'inclinaison nulle, il faut adopter d'autres paramètres plus adaptés au problème. On consultera les ouvrages spécialisés.


EQUATION DE GAUSS POUR M(t)


EQUATION DE GAUSS POUR w
  EQUATION DE GAUSS POUR ω


  EQUATION DE GAUSS POUR i(t)


EQUATION DE GAUSS POUR W
 EQUATION DE GAUSS POUR Ω


 EQUATION DE GAUSS POUR e(t)


EQUATION DE GAUSS POUR a(t)


  MANOEUVRES IMPULSIONNELLES

Définition: On appelle ainsi des manoeuvres de très courte durée , en général utilisées dans les phases de maintenance à poste, c'est à dire de correction des paramètres orbitaux.

La correction nécesiite un incrément de vitesse ΔV petit que l'on décompose sur les axes radial-tangent-normal au plan de l'orbite osculatrice.

xi désigne l'un quelconque des paramètres orbitaux et vérifie une équation de Gauss de la forme:

On montre alors que la petite variation du paramètre xi est:

Naturellement plusieurs paramètres orbitaux sont en général concernés par une correction. L'optimisation d'une manoeuvre demande donc une étude fine de l'instant de la manoeuvre.


           RADIAL-TANGENT-NORMAL

Au point courant M de l'orbite réelle perturbée, on note

  R le vecteur unitaire radial

 N le vecteur localement normal au plan r,V c'est

   à dire portant le moment cinétique  instantané h.

 T l'unitaire dit "tangentiel"


ACCELERATION PERTURBATRICE

Tout satellite est soumis à des forces perturbatrices plus ou moins importantes suivant le type de mission. L'accélération perturbatrice se décompose sur les axes classiques R, T, N en:

L'origine de ces perturbations est diverse:

1°) Gravitationnelles

Terrestre (J2, J3,....)

Solaire

Lunaire

2°) Freinage atmosphérique résiduel

3°) Pression de radiation solaire

4°) Pression de radiation rediffusée par la terre


ORBITE REELLE ET ORBITE OSCULATRICE

 En rouge l'orbite réelle pour laquelle les forces appliquées comprennent l'attraction newtonienne et la résultante des perturbations.

 En noir, l'orbite osculatrice est définie comme l'ellipse képlérienne de conditions initiales r(t) et V(t), à l'instant t, qui serait parcourue sui les perturbations cessaient à l'instant t.


PERTURBATIONS GRAVITATIONNELLES

Rappel: On appelle ainsi la résultante des forces de gravitation autres que celles dérivant du potentiel newtonien central.

Perturbations dues aux irrégularités de forme de la terre

essentiellement l'aplatissement polaire caractérisé par J2

Perturbation lunaire

Perturbation solaire

Perturbations dues aux autres planètes (dans le cas d'un tir inter

planétaire)

Les perturbations ont en pratique des effets sur les paramètres orbitaux qui "dérivent" lentement:

De manière séculaire avec effet cumulatif à long terme

Des effets périodiques à court terme.

Voir potentiel terrestre réel


PERTURBATIONS DUES A J2
PERTURBATIONS DUES A J2 (Aplatissement polaire)

Rappel du potentiel perturbateur terrestre du à J2 :

λ est la latitude géocentrique du satellite. J2 = 1.08 e-3

En coordonnées cartésiennes du repère J2000, on a en désignant par x, y, z les coordonnées du satellite, les composantes de la force perturbatrice, utiles dans une programmation informatique sont:

La force perturbatrice peut s'écrire comme somme de 2 termes :

Voir: Dérives dues à J2


DERIVES DUES A J2

Un calcul moyenné, des perturbations dues à J2 sur les paramètres orbitaux ω, Ω, Μ donne les effets séculaires suivants:

NB: 1-  Pour i = 63°,4 la dévive de ω s'annulle, c'est une valeur couramment pratiquée par les satellites soviétiques, notamment ceux de type Molnya.

NB 2- Les paramètres a, e, i ne sont pas affectés de manière séculaire par la perturbation due à J2

Voir Héliosynchronisme


PERTURBATION SOLAIRE

Pour les satellites de la terre, en mouvement dans la sphère d'influence  de la terre relativement au champ gravitationnel solaire, il faut considérer la perturbation due au soleil.

Avec les notations suivantes:

On a l'accélération perturbatrice de l'astre ici le soleil:


PERTURBATION LUNAIRE

Avec les notations suivantes:

On a l'accélération perturbatrice de l'astre ici la lune:


TRAÎNEE ATMOSPHERIQUE

  La traînée atmosphérique représente une perturbation importante pour les satellites en orbite circulaire basse et les orbites elliptique à bas périgée. L'effet de freinage existe pour les altitudes inférieures à 500 km.

La modélisation est difficile notamment la masse volumique de l'atmosphère résiduelle, à cause des variations de température dues à l'activité du soleil et au passage du satellite dans des zônes d'ombre.

L'accélération perturbatrice se calcule par:

 ρ masse volumique de l'air modèlisée :Jacchia,Barlier, Esro 4

 S surface ou section de choc (difficile à calculer)

 m masse du satellite

  coefficient aérodynamique de traînée (difficile à calculer)

  vitesse relative à l'air ambiant, donc par rapport à la terre.

Conclusions: La traînée affecte essentiellement la forme de l'orbite (a, e M), elle tend à circulariser une orbite elliptique et diminuer l'altitude d'orbitation.


PRESSION DE RADIATION SOLAIRE
PRESSIO0N DE RADIATION SOLAIRE

Cette perturbation apparaît lorsque le satellite et notamment les pan-neaux solaires interceptent les photons solaires. Elle est nulle quand le satellite passe dans la zône d'ombre de la terre. La modélisation de la perturbation n'est pas simple, seule la valeur de la pression photonique est bien connue dans le cas d'une réflexion pure sans perte sur une surface plane S orientée par une normale n.

D distance réelle terre-soleil

Do = 1 UA distance moyenne terre-soleil

po = 4.63 E-6 N/m²

S surface réfléchissante

Des études ont été menées pour utiliser la propulsion photonique sur une voile solaire pour des voyages lointains (Terre-lune ou voyages interplanétaires).


PRESSION DE RADIATION REDIFFUSEE PAR LA TERRE

Analogue à la perturbation due à la pression de radiation solaire, la pression de radiation rediffusée par la terre prend en compte l'effet de l'albédo terrestre sur les surfaces réfléchissantes du satellite.

La modélisation est très complexe, on s'adressera alors aux ouvrages spécialisés.


HELIOSYNCHRONISME

On exploite l'inconvénient que le coefficient J2 impose au satellite, en orbite autour de la terre, en créant une dérive de la ligne des noeuds autour de l'axe nord-sud de la terre.

VOIR FIGURE

On constate donc:

 Qu'une orbite polaire n'est pas affectée par la dérive

 Qu'une inclinaison i <90° entraine une dérive rétrograde de la

   ligne des noeuds de l'orbite.

 Qu'une inclinaison i >90° entraine une dérive positive de la ligne

   des noeuds de l'orbite.

Or le soleil , vu de la terre, tourne à une vitesse angulaire de l'ordre de 1°/jour, très exactement 0.98565 °/jour, dans le sens trigonométrique.

Un satellite est dit HELIOSYNCHRONE SI LA DERIVE DE LA LIGNE DES NOEUDS EST EGALE A LA VITESSE ANGULAIRE DE ROTATION DU SOLEIL RAPPORTE A LA TERRE.

Généralement ces satellites sont utilisés en imagerie et donc gravitent sur des orbites circulaires (e=0).

Ainsi a = f(i) est la CONDITION D'HELIOSYNCHRONISME.

AVANTAGES : On montre alors que l'angle θ entre la ligne des noeuds et le plan méridien du soleil reste constant.

L'heure solaire locale H (en heures), lors du survol du noeud ascendant de l'orbite, est donc toujours la même, H une caractéristique essentielle du satellite.

La prise de photographies dans des conditions d'éclairement très voisines  facilité la comparaison et l'exploitation des clichés.

SATELLITE D'IMAGERIE: Pour que le satellite puisse à intervalles réguliers survoler le même poit de la terre à la même heure locale, il faut de plus imposer la CONDITION DE PHASAGE( Trace au sol qui se referme après un temps fini Tr appelé période de répétitivité)

Pour un satellite héliosynchrone Tr est un nombre entier k de jours et un nombre n entier d'orbites. Le choix de k et n est un paramétrage capital de l'application.


PHASAGE D'UNE ORBITE

 est la période de répétitivité.

 est la période nodale (temps séparant sur une orbite réellle perturbée deux passages consécutifs au noeud ascendant)


Figure héliosyynchronisme
 FIGURE POUR L'HELIOSYNCHRONISME


 DIVERS

TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

POINTS DE LAGRANGE

FIGURE DES POINTS DE LAGRANGE

EXPLICATION MECANIQUE

POINTS DE LAGRANGE L1 L2 L3

NOTIONS ELEMENTAIRES DE CONTRÔLE D'ORBITE

CORRECTION DE DATE

MODIFICATION DE L'ALTITUDE PERIGEE

MISE EN ORBITE GEOSTATIONNAIRE

ROTATION DU GRAND AXE DANS SON PLAN

CORRECTION DE L'INCLINAISON

COMMENT CORRIGER L'INCLINAISON


TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

FORMULAIRE DE TRIGONOMETIE SPHERIQUE

POINTS DE LAGRANGE

FIGURE DES POINTS DE LAGRANGE

EXPLICATION MECANIQUE

POINTS DE LAGRANGE L1 L2 L3


TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

	Définitions: Un triangle sphérique ABC est défini sur une sphère unité par 3 points sommets A, B, C et les 3 côtés AB, BC, CA par 3 arcs de grands cercles.  L' angle au sommet Â est l'angle formé par les tangentes Au et Av en A , aux arcs AB et AC. L' angle au centre â est l'angle formé par les rayons OB et OC sous lesquels "on voit" les arcs AB et AC du centre O Voir formulaire général.


FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE SPHERIQUE
FORMULES DE TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

Les principales formules et celles qui s'en déduisent par permutation circulaire sont rappelées. Voir Triangle sphérique


POINTS DE LAGRANGE

Plaçons-nous dans le cadre d'un problème à 3 corps.

Un très massif centre attractif principal O

Un autre plus petit P (planète) orbitant autour du premier, dans la

sphère d'influence sur unesur orbite circulaire..

Un troisième très petit M (Satellite artificiel ou naturel)

Ce problème étudié par Poincaré ne possède pas de solution exprimable analytiquement.

Cependant il existe des Points d'équilibre où M reste fixe par rapport aux 2 autres centres attractifs O et P. Ces points sont les POINTS DE LAGRANGE DU SYSTEME O+P.

Voir Dessin

        Explication mécanique sommaire


FIGURE DES POINTS DE LAGRANGE


EXPLICATION MECANIQUE

Le système Terre-Lune supposé isolé, a son centre d'inertie G en mouvement rectiligne uniforme. G peut  être considéré comme fixe.

Le repère GXY associé au système terre -lune est en rotation uniforme à vitesse constante.

Dans ce repère tournant un satellite M est soumis à:

La force attractive du Soleil

La force attractive de la terre

La force d'inertie centrifuge

Un équilibre plan est alors possible.

Les points L4 et L5 sont des points d'équilibre stable (Oubliant le mouvement normal au plan GXY), il sont depuis longtemps connus et la cible actuelle où à venir de mission d'observation de notre soleil (pour le système SOLEIL-TERRE)

Voir aussi L1 L2 L3


POINTS DE LAGRANGE L1 L2 L3

Situés sur l'axe Terre-Lune, une étude simple montre aisément que ces positions sont instables.

L2 est pratiquement le point de passage des missions lunaires du type Apollo.


GENERALITES SUR LE CONTRÔLE D'ORBITE
ELEMENTS SUR LE CONTRÔLE D'ORBITE

Voir          formules dans le triangle                               Figure des vitesses

Nécessité de corrections:

Une mission d'application d'un satellite ou d'une sonde interplanétaire, répond à des impératifs techonologiques, qui imposent de manière très précise ses paramètres orbitaux ou du moins les fourchettes étroites dans lesquelles ces paramètres doivent rester pour satisfaire à la mission.

Les écarts aux valeurs nominales peuvent provenir de:

• Des dispersions sur les paramètres de tir

• Des erreurs commises lors de corrections importantes de trajectoire

• De l'évolution des paramètres orbitaux au cours du temps, à cause des perturbations orbitales.

Les paramètres orbitaux sont ramenés à leur valeur de base par de CORRECTIONS D'ORBITE, on dit aussi CONTRÔLE D'ORBITE.

Comment corriger?

Une seule façon de modifier les paramètres orbitaux, en modifiant le vecteur vitesse. Cette opération nécessite quelquefois une ou deux  manoeuvres en des points différents en général.

Une question importante  se pose alors, qui conditionne la durée de vie du satellite, QUELLE EST LA MANOEUVRE OPTIMALE? La réponse ne peut être donnée de manière générale. il faut minimiser ΔV.

Manoeuvres classiques:

Correction de date sans changer l'orbite

Rotation du grand axe dans son plan

Transfert de type Hohmann

Variation de l'altitude du périgée ou de l'apogée

Correction d'inclinaison seule.

etc....


RELATIONS DANS LE TRIANGLE


CORRECTION DE DATE

On veut corriger un écart de temps de passage Δt

en n orbites (nombre choisi en tenant compte des

impératifs économiques). Le calcul montre qu'il

faut réaliser 2 impulsions de sens contraire  au

périgée, de valeur chacune δV.


MODIFICATION DE L'ALTITUDE PERIGEE

Cette manoeuvre doit être effectuée à l'apogée et nécessite un incrément de vitesse ΔV.

a1 demi grand axe initial

a2 demi grand axe final

ra altitude apogée

NB: Le résultat est semblable si l'on veut modifier l'apogée, en changeant ra en rp.


MISE EN ORBITE GEOSTATIONNAIRE

Voir aussi                 Manoeuvres impulsionnnelles                    Derives dues à J2

Cette rubrique demanderait de longs développements très précis .

Indiquons qu'un satellite géostationnaire gravite à 42164 km du centre de la terre où il tourne, dans le plan équatorial, à la même vitesse angulaire que la terre, avec une période T= 23 h 56 mn 4,1 s.

I RAPPEL DE LA MISE EN ORBITE GEOSTATIONNAIRE

Généralement l'injection est réalisée à un niveau très bas, environ 200 à 300 km .

L'injection peut être directe (cas du lanceur ARIANE) et l'orbite de transfert est dite GTO (Geostationnary Orbit Tranfer ) ou indirecte dans le cas de la navette US, pour laquelle le satellite sorti de la soute doit allumer un moteur de périgée pour s'injecter sur l'orbite GTO.

La vitesse de tir absolue est de l'ordre de 10250 m/s.

L'apogée de l'orbite GTO est voisin de l'orbite géostationnaire, et volontairement choisi pour optimiser la MISE A POSTE du satellite.

Voir figure (Cas où le stationnement est rejoint en 3 orbites)

II MISE A POSTE GEOSTATIONNAIRE

L'apogée n'est naturellement pas le point de stationnement prévu pour le satellite (point caractérisé par sa longitude).

La procédure habituelle consiste à laisser le satellite décrire un certain nombre d'orbites GTO jusqu'au moment où il s'approche du stationnement visé.

Une manoeuvre importante d'apogée permet en pratique de corriger l'inclinaison et de la ramener à 0 et simultanément de mettre le satellite sur une orbite proche du cercle géostationnaire.Pour le lanceur Ariane la correction d'inclinaison est voisine de 7°.

Des orbites de dérive primaire et secondaire sont alors utilisées de plus en plus voisines de l'orbite géostationnaire. La manoeuvre est finement calculée pour amener le satellite à son point de stationnement ( apogée ou périgée de l'orbite de dérive secondaire). Un allumage de moteur le cale alors définitivement sur son stationnement.

III CONTROLE D'ORBITE

Les perturbations orbitales ( J2, Soleil, Lune) font varier les paramètres orbitaux et dériver le point de station nement, le demi grand axe , l'excentricité ou l'inclinaison orbitale.

Des manoeuvres très fines de contrôle d'orbite sont alors néces saires. On consultera pour cela les ouvrages spécialisés , notamment édités par le CNES.


TIR GTO DIRECT


ORBITE DE DERIVE

On appelle ainsi, en général, une orbite voisine de l'orbite gostationnaire,d'excentricité faible. La période T est alors voisine du jour sidéral To=86164 s

Si a désigne le demi grand axe de l'orbite, T l'écart de période, δa=a-ao , on a:

Chaque période du mouvement fait dériver le satellite par rapport à la terre de ΔL  en longitude, l'amenant progressivement à son point de stationnement en un nombre entiers de périodes.


ROTATION DU GRAND AXE DANS SON PLAN

Rayon vecteur        Equation polaire

Pour faire tourner le grand axe d'une orbite, d'un angle α, sans changer de plan ni de caractéristiques ( a, e ), il faut:

• Agir en S défini par l'angle θ

• Délivrer un incrément de vitesse parallèle au rayon vecteur ΔV:


TRANSFERT D'HOHMANN

Voir:

Tir de type Hohmann

Fenêtre de tir Hohmann

Figure du tir Hohmann


CORRECTION DE L'INCLINAISON
CORRECTION DE L'INCLINAISON SEULE

Equations de Gauss          Figure des paramètres orbitaux

Les corrections d'inclinaison sont courantes:

• De l'ordre de 50 m/s annuels pour une orbite géostationnaire, à cause de la perturbation luni-solaire.

• Lors de voyages interplanétaires pour modifier l'orientation du plan orbital par rapport à l'écliptique. Ces corrections sont très coûteuses car la vitesse est grande.

• Lors d'un lancement GTO, si la base de tir est "haute" en latitude. L'orbite de "parking" initiale est alors fortement inclinée sur l'équateur. Un  basculement est alors nécessaire pour passer sur une orbite GTO. La correction définitive de l'inclinaisonse fait alors en grande partie à l'apogée.

Comment?     Coût en vitesse


COMMENT CORRIGER L'INCLINAISON

• Lors du survol de l'équateur (noeud)    [image] · Au noeud le "plus haut" en altitude.  · En conservant la vitesse radiale   [image] · En ne modifiant que la vitesse orthoradiale     [image] · Calcul de ΔV


COÛT EN VITESSE


TRACE - ECLIPSE - DOPPLER

VOYAGES INTERPLANETAIRES

CALCUL DE LA TRACE

CALCULS PRELIMINAIRES

CALCUL DES COORDONNEES GREENWICH

CALCUL ITERATIF DE L'ANOMALIE

LATITUDE ET LONGITUDE GREENWICH

VISIBILITE D'UNE STATION SOL

VARIATIONS DE FREQUENCES DOPPLER

VISIBILITE STATION-SATELLITE

CALCUL DES CONDITIONS D'ECLIPSE

CONJONCTION-OPPOSITION

GENERALITES VOYAGE INTERPLANETAIRE

TROISIEME VITESSE COSMIQUE

PROBLEME DE LAMBERT

COORDONNEES HELIOCENTRIQUES

DEPART DE LA PLANETE

CONDITIONS AUX LIMITES

MOUVEMENT DE LA PLANETE

Vitesse de libération

Tir de type Hohmann

FIGURE DU TIR DE HOHMANN

FENETRE DE TIR DE HOHMANN

TIR GTO

VOL HELIOCENTRIQUE

TREMPLIN GRAVITATIONNEL

VITESSE AU PERIGEE

VITESSE DE SORTIE

VITESSE D'ENTREE

FORMULES DU TREMPLIN


CALCUL DE LA TRACE

Programmes à lancer                 survol [image] · molnya

DONNEES NECESSAIRES

Les paramètres orbitaux a, e, i, ω, Ω, tp ou ϕ ou θ ou M

La date t

L'ascension droite ou heure sidérale de Greenwich lg(to) à une époque to donnée (Exécuter programme )

Calculs préliminaires: Heure sidérale de Greenwich, Ω∗, ϕ(t)

Calcul 1: Coordonnées du satellite dans le repère lié à Greenwich.

Calcul 2: Calcul de la latitude λ(t) et de la longitude L(t) terrestre du satellite.


                          CALCULS PRELIMINAIRES

Heure sidérale de Greenwich à l'instant courant t

Angle Ω* de la ligne nodale avec Greenwich

NB: Eventuellement tenir compte de l'effet de J2 dans l'évolution de Ω.

L'anomalie excentrique ϕ(t) du satellite (voir méthode itérative de calcul)


CALCUL DES COORDONNEES GREENWICH

  1°) COORDONNEES DANS PQW

  2°) COORDONNEES DANS LE REPERE DE GREENWICH


 CALCUL ITERATIF DE L'ANOMALIE

Partant d'une valeur ϕo quelconque on construit

la suite ϕn  --->

qui converge en une dizaine d'étapes vers

la solution de:


LATITUDE ET LONGITUDE GREENWICH


VISIBILITE D'UNE STATION SOL

Station sol A de coordonnées Greenwich ou longitude Ls et latitude λs

Satellite repéré par ses paramètres orbitaux

• a, e, i , ω, Ω, tp (ou ϕ ou θ ou M) et la date t

• L'ascension droite ou heure sidérale de Greenwich lg(to) à une 	    époque to donnée (Exécuter programme )

ou encore par ses coordonnées dans le repère de Greenwich X Y Z (voir calcul Xg Yg Zg)

ou encore par ses coordonnées géographique λS, Ls (voir calcul de la trace sol)

On considère qu'un satellite est visible  d'une station si sa ligne de visée est δ = 5° à 10° ( α < 90°-δ )au dessus du plan horizontal local.

Voir figure


VARIATIONS DE FREQUENCES DOPPLER

Le mouvement orbital entraîne obligatoirement une variation de réquence par effet Doppler, due à la vitesse radiale Vr suivant la direction station-satellite.

Voir figure avec :

A station, S satellite

V la vitesse absolue, FE fréquence d'émission.

La fréquence reçue est:

Voir visibilité d'une station sol

Voir calcul vecteur vitesse avec  les paramètres orbitaux


VISIBILITE STATION-SATELLITE


CALCUL DES CONDITIONS D'ECLIPSE

On dit que le satellite est en période d'éclipse s'il se trouve

dans l'ombre portée de la terre. Il n'est donc plus éclairé

par le soleil, ce qui pose de nombreux problèmes, en pratique.

On montre qu'un satellite est en éclipse si et seulement si .

sont vérifiées les 2 conditions ci-dessous:


CONJONCTION-OPPOSITION

On appelle ainsi une configuration spatiale où l'antenne réceptrice, le satellite ou sonde interplanétaire et le soleil sont sensiblement alignés.

Cette situation crée de sérieux problèmes de télécommunications: les émissions TM-TC sont perturbées par les ondes radio émises par le soleil.


GENERALITES VOYAGE INTERPLANETAIRE

HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES

Trajectoires des planètes circulaires, concentriques dans l'écliptique

.	Voir caractéristiques numériques des astres

Simplifications des sphères d'influence

Problème à 2 corps Soleil-sonde  ou  Planète-sonde

Problème de LAMBERT

Transfert de type Hohmann

RAPPEL SUR LA PROCEDURE GENERALE

Phase 1

Dans la sphère d'influence de la terre ou de la planète de

départ

Repère géocentrique équatorial

Vol hyperbolique d'évasion

Calcul des conditions limites ------> module, déclinaison

Phase 2

Sous l'attraction solaire seule

Repère héliocentrique écliptique

Changement de repère

Calcul du vol héliocentrique jusqu'à la rencontre avec la

sphère d'influence de la planète d'arrivée;

Calcul des conditions de rencontre avec la planète et de la

vitesse relative d'ar.rivée à l'infini.

Phase 3:  Voir figure du tremplin

Sous l'attraction planète seule  voir figure

Repère planétocentrique équatorial

Changement de repère

Survol au périgée

Calcul de la sortie et réinjection dans le système solaire.

Tremplin gravifique


TREMPLIN GRAVITATIONNEL


VITESSE AU PERIGEE

  VITESSE AU PERIGEE DE L'HYPERBOLE


VITESSE DE SORTIE

Cette vitesse est obtenue après le survol de la planète. C'est la nouvelle vitesse héliocentrique qui déterminera la trajectoire future.


VITESSE D'ENTREE

Cette vitesse est la vitesse héliocentrique au moment

de la rencontre avec la sphère d'influence de la planète.

Elle permet de calculer en particulier la vitesse à l'infini

d'entrée dans la sphère d'influence de la planète.


FORMULES DU TREMPLIN

On appelle " tremplin " l'opération qui consiste à survoler une planète en profitant de son attraction, pour dévier la trajectoire, la variation du vecteur vitesse héliocentrique s'appelle ΔV:

En augmentant la vitesse de sortie Vs2, il faut alors que 	l'asymptote de sortie soit presque parallèle à la vitesse de la

planète (SURVOL ARRIERE) ou en faisant tourner le vecteur

vitesse (souvent en SURVOL AVANT) .


TIR DE TYPE HOHMANN

Voir figure                                    Voir fenêtres de tir                                                   Voir tir GTO

Un tel tir est pratiqué lors d'une recherche de vitesse de tir minimale ou d'énergie spécifique  mimimale.

Pour passer d'une orbite circulaire basse à une orbite

circulaire haute ou réciproquement.

Pour réaliser un voyage interplanétaire économique entre une 	planète de départ Pd et d'arrivée, visée Pv.

• Le résultat est une ORBITE ELLIPTIQUE BITANGENTE aux 2 orbites de départ et d'arrivée.

• La sonde atteint son but à l'apogée ou au périgée. C'est la configuration qui profite au mieux de la vitesse d'entraînement de la planète de départ (Mouvement autour du soleil).


 TIR GTO

On nomme ainsi en anglais un tir de tranfert

vers l'orbite géostaionnaire à partir d'une orbite

t.errestre basse.

C'est le tir nominal du lanceur ARIANE avec un

périgée sensiblement à 200 km/sol et un apogée

au niveau géostationnaire, 35784 km/sol, commu-

nément donné en arrondi à 36000 km/sol.

Rappel:

         Niveau géostationnaire à 42164 km/sol.

         Vitesse de tir au périgée Vp = 10.25 km/s


FENETRE DE TIR DE HOHMANN

La configuration planètes -soleil (Pd  Pv S) est caractérisée

par l'angle α, le temps qui sépare deux créneaux de de tir ou

2 fenêtres de tir est donné par


FIGURE DU TIR DE HOHMANN
 .FIGURE DU TIR DE HOHMANN


 TROISIEME VITESSE COSMIQUE

On nomme ainsi la vitesse de tir au voisinage de la terre

permettant de se libérer de l'attraction terrestre et de

continuer sur une orbite parabolique limite de libération

par rapport au soleil .

Conventionnellement au niveau du sol terrestre elle vaut

environ

V3 = 16.65 km/s


                                 PROBLEME DE LAMBERT

Le problème de LAMBERT est celui de la détermination

de l'orbite héliocentrique (ou géocentrique) reliant 2 planètes

(ou 2 points ) donnés, à des dates fixées.

Ce problème a été résolu.

Un programme réalise le calcul de la trajectoire, sous réserve

de rechercher une orbite elliptique.

Exécuter le programme DEUX_PTS.EXE


                 COORDONNEES HELIOCENTRIQUES

Ces 2  vecteurs  initialisent le mouvement héliocentrique


VOL HELIOCENTRIQUE

La connaissance des conditions initiales de tir au pointd'entrée dans le système solaire

permet le calcul des Constantes E et K et dans les cas difficiles, le calcul des vecteurs fondamentaux puis des paramètres orbitaux.

On peut aussi exécuter le programme RV_PAR_W.EXE

On est donc capable de calculer, au niveau de l'orbite de la planète, le rayon vecteur et la vitesse au moment de la rencontre avec la sphère d'influence.

Eventuellement on exécute le programme PAR_RV_W.EXE

On en déduit les conditions relatives de la rencontre et notamment la vitesse d'entrée à l'infini de la sphère d'influence de la planète.


DEPART DE LA PLANETE

Repère géocentrique équatorial. So est le point d'injection au voisinage de la terre. Vo, ro sont la vitesse absolue et le rayon vecteur absolu de départ La trajectoire de départ est une hyperbole dont une asymptote porte la vitesse à l'infini de sortie de la sphère d'influence.


CONDITIONS AUX LIMITES
CONDITIONS AUX LIMITES DE LA SPHERE D'INFLUENCE

Losque la sonde qui a été lancée à une vitesse supérieure à la vitesse de libération à la distance ro de la planète, atteint la sphères d'influence, on a:

Comme l'asymptote de l'hyperbole est très proche du centre de la terre, à une distance d faible devant le rayon de la sphère d'influence


MOUVEMENT DE LA PLANETE

On consultera les éphémérides du BUREAU DES LONGITUDES ou l'édition des éphémérides de l'année ou on exécutera un programme donnant avec une bonne approximation les caractéristiques de la planète de départ ou éventuellement d'arrivée.

Exécuter le programme d'éphémérides

La connaissance du temps de vol à travers la sphère d'influence est donc nécessaire. On pourra soit calculer le temps réel par le paramétrage en ϕ soit utliser une formule approchée

Ainsi la date d'entrée dans le système solaire vaut

Date entrée= Date tir en So + Temps de vol


Vitesse de libération
VITESSE DE LIBERATION

A une distance ro d'un astre, cette

vitesse vaut:


INDEX PRINCIPAL
                                  BIENVENUE

FORMULAIRE DE MECANIQUE SPATIALE

   GRAVITATION

   MOUVEMENT KEPLERIEN

   PASSAGE ABSOLU-RELATIF

   PASSAGE EN VECTORIEL (a,e i,Ω,ω,tp) ==> r,V

   PERTURBATIONS ET EQUATIONS DE GAUSS

   TRACE - ECLIPSE -TELECOMMUNICATIONS- DOPPLER

   VOYAGES INTERPLANETAIRES

  TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

   CONTROLE D'ORBITE

   PROBLEME DE GIBBS


UTILITAIRES  EN FENÊTRE SECONDAIRE FIXE


GRAVITATION

GRAVITATION NEWTONIENNE

POTENTIEL NEWTONIEN

Calcul d'un gradient

RAYON SPHERE D'INFLUENCE

PROBLEME DES DEUX CORPS


MOUVEMENT KEPLERIEN

MOUVEMENT KEPLERIEN

LOI DES AIRES

EQUATION DE L'ENERGIE

KEPLER

NEWTON

CONSTANTE DES AIRES

COORDONNEES CARTESIENNES

DISTANCE ASYMPTOTE-FOYER

ENERGIE ET DEMI GRAND AXE

EXCENTRICITE

PARAMETRES DE LA CONIQUE

RAYON VECTEUR

VITESSE RADIALE ET ORTHORADIALE

TIR GTO

ORBITES DES CORPS EN MOUVEMENT KEPLERIEN

PARAMETRAGE PAR L'ANOMALIE EXCENTRIQUE ϕ

GENERALITES SUR L'ELLIPSE (en hypergraphique)

LONGUEURS CLASSIQUES

REPERE PERIFOCAL

POINTS CARACTERISTIQUES

TRAJECTOIRE ELLIPTIQUE

DEFINITION BIFOCALE

DEFINITION BIFOCALE DE l'HYPERBOLE

EQUATION POLAIRE D'UNE CONIQUE

EQUATION CARTESIENNE

PARAMETRAGE ELLIPSE OU HYPERBOLE


PASSAGE ABSOLU-RELATIF

AZIMUT ABSOLU OU RELATIF

PARAMETRES ANGULAIRES

PARAMETRES D'INJECTION

PASSAGE DES CONDITIONS RELATIVES AUX ABSOLUES

FORMULES DE PASSAGE RELATIF- ABSOLU

PENTE ABSOLUE OU RELATIVE

REPERE ENZ

VITESSE ABSOLUE OU RELATIVE

VITESSE D'ENTRAINEMENT DE LA TERRE


PASSAGE EN VECTORIEL (Position-Vitesse) (a,e i,Ω,ω,tp)--->r,V

CALCUL DE LA POSITION-VITESSE A L'AIDE DES PARAMETRES ORBITAUX

CALCUL DES PARAMETRES ORBITAUX

Angle de tir

Argument nodal du périgée

Ascension droite de la ligne des noeuds

Azimut

Date calendaire

Date julienne

Heure sidérale

Inclinaison orbitale

J2000

Latitude

Ligne des noeuds

Ligne vernale

DEFINITIONS DES PARAMETRES ORBITAUX

FIGURE DES PARAMETRES ORBITAUX

VECTEURS FONDAMENTAUX


PERTURBATIONS ET EQUATIONS DE GAUSS

ACCELERATION PERTURBATRICE

ORBITE OSCULATRICE

ORBITE REELLE ET ORBITE OSCULATRICE

RADIAL-TANGENT-NORMAL

EQUATIONS DE GAUSS

EQUATION DE GAUSS POUR M(t)

EQUATION DE GAUSS POUR ω

EQUATION DE GAUSS POUR i(t)

EQUATION DE GAUSS POUR Ω

EQUATION DE GAUSS POUR e

EQUATION DE GAUSS POUR  a

MANOEUVRES IMPULSIONNELLES

DERIVES DUES A J2

PERTURBATION DUE A LA TRAÎNEE ATMOSPHERIQUE

PERTURBATION LUNAIRE

PERTURBATION SOLAIRE

PERTURBATIONS DUES A J2

PERTURBATIONS GRAVITATIONNELLES

PRESSION DE RADIATION REDIFFUSEE PAR LA TERRE

PRESSION DE RADIATION SOLAIRE

HELIOSYNCHRONISME

FiGURE HELIOSYNCHRONISME

PHASAGE D'UNE ORBITE


TRACE - ECLIPSE -TELECOMMUNICATIONS- DOPPLER

CALCUL DE LA TRACE

CALCUL DES COORDONNEES GREENWICH

CALCUL ITERATIF DE L'ANOMALIE

CALCULS PRELIMINAIRES

LATITUDE ET LONGITUDE GREENWICH

VISIBILITE D'UNE STATION SOL

VISIBILITE STATION-SATELLITE

CONJONCTION-OPPOSITION

VARIATIONS DE FREQUENCES DOPPLER

CALCUL DES CONDITIONS D'ECLIPSE


VOYAGES INTERPLANETAIRES

NOTION DE SPHERE D'INFLUENCE D'UNE PLANETE

PERTURBATION GRAVITATIONNELLE SOLAIRE

CALCUL DU RAYON DE LA SPHERE D'INFLUENCE

RAYON SPHERE D'INFLUENCE

POINTS DE LAGRANGE

FIGURE DES POINTS DE LAGRANGE

EXPLICATION MECANIQUE

POINTS DE LAGRANGE L1 L2 L3

CARACTERISTIQUES DU SOLEIL

CARACTERISTIQUES DE MERCURE

CARACTERISTIQUES DE LA TERRE

CARACTERISTIQUES DE VENUS

CARACTERISTIQUES DE MARS

CARACTERISTIQUES DE JUPITER

CARACTERISTIQUES DE SATURNE

CARACTERISTIQUES DE URANUS

CARACTERISTIQUES DE NEPTUNE

CARACTERISTIQUES DE PLUTON

CARACTERISTIQUES DE LA LUNE

GENERALITES VOYAGE INTERPLANETAIRE

PROBLEME DE LAMBERT

TIR DE TYPE HOHMANN

FIGURE DE TIR HOHMANN

FENETRE DE TIR HOHMANN

TROISIEME VITESSE COSMIQUE

COORDONNEES HELIOCENTRIQUES

DEPART DE LA PLANETE

CONDITIONS AUX LIMITES

VITESSE DE LIBERATION

MOUVEMENT DE LA PLANETE

FORMULES DU TREMPLIN GRAVIFIQUE

FIGURE DU TREMPLIN GRAVIFIQUE

VITESSE D'ENTREE SPHERE D'INFLUENCE

VITESSE DE SORTIE SPHERE D'INFLUENCE

VITESSE AU PERIGEE DE L'HYPERBOLE


TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

FORMULAIRE DE TRIGONOMETRIE SPHERIQUE


CONTROLE D'ORBITE

NOTIONS ELEMENTAIRES DE CONTRÔLE D'ORBITE

CORRECTION DE DATE

MODIFICATION DE L'ALTITUDE PERIGEE

MISE EN ORBITE GEOSTATIONNAIRE

ROTATION DU GRAND AXE DANS SON PLAN

CORRECTION DE L'INCLINAISON

COMMENT CORRIGER L'INCLINAISON


INDEX PRINCIPAL


EAO

BIENVENUE DANS LE FORMULAIRE

DATE CALENDAIRE

CALENDRIER JULIEN

PARAMETRES D'INJECTION

Repère E N Z

FIGURE DES PARAMETRES DE TIR

FORMULES DE PASSAGE CONDITIONS ABSOLUES-RELATIVESS

HEURE SIDERALE DE GREENWICH

SYSTEME DE REPERES ASSOCIES A J2000

LIGNE VERNALE

Longitude Greenwich

NOTION DE SPHERE D'INFLUENCE

CALCUL DU RAYON SPHERE D'INFLUENCE

RAYON SPHERE D'INFLUENCE

PERTURBATION SOLAIRE

Perturbation planétaire

PROBLEME A 2 CORPS

Utilitaires

PROBLEME DE GIBBS


EAO

Enseignement Assisté par Ordinateur


BIENVENUE DANS LE FORMULAIRE

Ce formulaire est un essai d'application des techniques d'EAO au bénéfice des élèves de l'Ecole de l'Air , des étudiants du DESS techniques Spatiales de Château-Gombert et de tous ceux qui s'intéressent à l'espace.

Il se limite aux connaissances générales concernant exclusivement la trajectographie, sans entrer dans les détails des techniques fines.

Il pourrait constituer le minimum de connaissances utiles à un ingénieur abordant les problèmes orbitaux.

Nb: Cepremier essai n'est certainement pas exempt d'erreurs ou de maladresses et accepte toutes les remarques, suggestions et critiques.

GUIZIOU robert Sept 1995-Février 1996


DATE CALENDAIRE

Date du calendrier normal en usage dans un pays. Cette date présente un inconvénient majeur d'être variable d'un pays à l'autre et de ne pas,, avec les 365 jours, être en phase avec le mouvement de la terre.

On lui préfère donc un calendrier linéaire: le calendrier julien. Le bouton ci-dessous donnera la date julienne connaissant la date calendaire


CALENDRIER JULIEN

Le calendrier julien est une numérotation linéaire et décimale des dates. Actuellement la nouvelle date origine est le 1 janvier 2000 à 12 h 00 mn 00 s.

L'ancienne origine était le 1 janvier 4713 avant J-C.

 Le bouton programme permettra le calcul de la date julienne connaissant la date calendaire.


PARAMETRES D'INJECTION
PARAMETRES D'INJECTION ABSOLUS OU RELATIFS

Figure des paramètres d'injection        Repère ENZ          Passage conditions absolues-relatives

On appelle ainsi l'ensemble des données consécutives à un tir:

PARAMETRES ABSOLUS

 Vo vitesse absolue de tir

 γo angle absolu de tir ou pente absolue

 Zo altitude sol du tir ou ro=Rt+Zo le rayon vecteur

 Lo longitude Greenwich du point de tir

 λo latitude du tir

 βo azimut absolu du tir

 ϕo anomalie excentrique ou θo anomalie vraie ou Mo anomalie moyenne et to instant du tir.

PARAMETRES RELATIFS

 Vro vitesse relative de tir (/ à la Terre)

 γro angle relatif de tir ou pente relative

 ro azimut relatif du tir


FIGURE DES PARAMETRES DE TIR


ANGLE DE TIR OU PENTE

On désigne ainsi l'angle entre la vitesse absolue

(ou relative) et l'horizontale locale. La figure montre

la pente absolue.


AZIMUT ABSOLU OU RELATIF

L'azimut absolu βa est l'angle entre:

 La direction locale du nord et la projection horizontale de la vitesse absolue.

ou

 L'angle entre le méridien du tir et le plan de tir absolu

ou

 L'angle entre le nord et la vitesse orthoradiale absolue.

L'azimut absolu βr fait intervenir la vitesse relative et le plan relatif de tir:


AZIMUT

L'azimut absolu βo est l'angle entre:

 La direction locale du nord et la projection horizontale de la vitesse absolue.

ou

 L'angle entre le méridien du tir et le plan de tir absolu

ou

 L'angle entre le nord et la vitesse orthoradiale absolue.


HEURE SIDERALE DE GREENWICH

On appelle ainsi l'angle entre le méridien de Greenwich et l'axe I du repère associé à J2OOO. C'est aussi la longitude vernale de Greenwich. Cet angle est donné notamment par les éphémérides du BUREAU DES LONGITUDES.

On peut le calculer avec une bonne précision avec le programme suivant:


SYSTEME DE REPERES ASSOCIES A J2000

Un système de repères est défini en liaison avec la date du 1/1/2000 à 12 h 00 mn 00 s.

 Le repère géocentrique équatorial I J K avec K axe nord-sud, I suivant la ligne vernale du 1/1/2000, J complétant le repère


LIGNE VERNALE
LIGNE VERNALE γ

On nomme ainsi la direction du centre de la terre au soleil lorsque ce dernier est à la verticale de l'équateur terrestre le 1/1/2000 à 12 h 00 mn 00  s . Cette ligne est donc mémo risée fixe car depuis Hipparque on sait que tous les ans cette position dérive de 50" d'arc dans le sens rétrograde.

C'est aussi à cette même date l'intersection du plan équa torial terrestre et du plan écliptique.


Longitude Greenwich

Angle entre le plan du méridien de Greenwich et le méridien de la position. Cet angle se mesure conventionnellement de 0 à 360° vers l'EST.


LATITUDE

Angle entre la verticale du lieu et le plan équatorial. Cet angle est conventionnellement mesuré de -90° à +90° du sud vers le nord.

On rappelle que:

cos i = cosλo cos βo


 VITESSE HORIZONTALE OU ORTHORADIALE

On appelle ainsi la projection horizontale V'o de la vitesse sur le plan E N.

C'est aussi la vitesse orthoradiale Vocosγo. La vitesse horizontale fait avec le nord local un angle βo appelé azimut.


ASCENSION DROITE

αo est l'heure sidérale du méridien du lieu. On dit encore que αo est l'ascension droite du lieu.

αo = Lo + lg(t)


NOTION DE SPHERE D'INFLUENCE

Rayon sphère                         Perturbation solaire                             perturbation planétaire

NB: La perturbation solaire sur une sonde n'est pas F2 mais la différence des attractions F1 et F2.


CALCUL DU RAYON SPHERE D'INFLUENCE

" On montre que chaque planète du système solaire est entourée d'une surface voisine d'une sphère en moyenne, appelée SPHERE D'INFLUENCE de la planète, telle que:

 A l'intérieur seule l'attraction planète est prise en compte, donc la perturbation solaire négligée.

 A l'extérieur seule l'attraction solaire est conservée et l'attraction perturbatrice de la planète négligée."

D est la distance Soleil-Planète. Pour la terre ce rayon vaut 805000 km.

La lune "notre prisonnière" est bien dans cette sphère.


RAYON SPHERE D'INFLUENCE

 D distance Soleil-Planète

 μp constante gravitationnelle planète

 μs constante gravitationnelle planète


REPERES

 Ra est le repère HELIOCENTRIQUE ECCLIPTIQUE

Plan fondamental: ECLIPTIQUE

Axe I: ligne vernale

 R est  un repère stellaire centré sur la planète, pour la terre ce pourrait être le repère géocentrique équatorial.

Voir J2000


ATTRACTIONS

C'est un problème à 3 corps, le soleil, la Terre et la sonde.

Ce problème n'admet pas de solution analytique.

Les formules ci-dessous correspondent aux forces attractives sur 1 kg

Attraction solaire/sonde
Attraction Soleil/planète
Attraction Terre/sonde


PERTURBATION SOLAIRE


Perturbation planétaire


PROBLEME A 2 CORPS, MASSE REDUITE

Lorsque 2 corps formant un système isolé, sont en interaction gravitationnelle, on peut considérer qu'un repère d'origine l'un des corps est GALILEEN , à condition de remplacer la masse de l'autre corps par sa masse réduite.


Utilitaires


FORMULES DE PASSAGE CONDITIONS ABSOLUES-RELATIVES


Repère E N Z

 E est la direction de l'Est local (tangente au  parallèle)

 N est le Nord local (tangente au méridien du lieu)

 Z est le zénith ou verticale locale


VITESSE ABSOLUE OU RELATIVE

Va est la vitesse absolue dans un repère galiléen, stellaire, par exemple celui associé à J2OOO (I, J, K)

Vr est la vitesse relative rapportée à un repère lié à la terre (tournant autour de l'axe nord-sud).


PENTE

La figure montre la pente absolue γa et la pente rellative γr, angles que font respective-ment le vecteur vitesse absolue ou relative avec le plan horizontal EN.


FORMULES DE PASSAGE ABSOLU RELATIF


VITESSE D'ENTRAÎNEMENT DE LA TERRE

Au sol à l'équateur cette vitesse vaut 465 m/s.


EXECUTABLES DE CALCUL DIRECTEMENT UTILISABLES
ROUTINES DE CALCUL UTILISABLES

Ce sont des exécutables de calcul immédiatement utilisable en appuyant sur le bouton associé

Calcul de l'heure sidérale de Greenwich connaissant la date calendaire et l'heure.
Calcul de la date julienne associée à J2000 connaissant la date calendaire
Calcul inverse de la date calendaire et de l'heure connaissant la date julienne décimale du système associé à J2000
Calcul des paramètres orbitaux connaissant les conditions de tir à l'injection                      (figure)
Calcul de la longitude et de la latitude des points survolés par un satellite (trace sol), connaissant les paramètres orbitaux. NB: les résultats apparaissent en tableau. Si l'on veut réaliser une simulation réelle sur une carte du monde, il faut s'adresser à la routine MOLNYA.EXE ( voir plus loin)
Calcul des conditions de tir connaissant les paramètres orbitaux et la date de l'injection
Calcul des éphémérides d'une planète connaissant la date calendaire. ATTENTION: donner le nom de la planète en minuscules
Calcul de la trajectoire (UNIQUEMENT ELLIPTIQUE) reliant 2 points de l'espace connus, connaissant la durée du vol. C'est la solution numérique du PROBLEME DE LAMBERT
Calcul de la cible fictive à viser pour un missile, connaissant le point de départ et les coordonnées géographiques de la cible réelle sur la terre. Le programme donne aussi les conditions de tir.
Visualisation (grâce à une routine Visual Basic conçue par  l'AGL de l'EA et le professeur pour la partie calculs) de la trace au sol d'un satellite. Le programme permet de rentrer n'importe quel satellite.
C'est le symétrique de rv_par_w (ci-dessous) qui permet de calculer le couple vectoriel, r, v connaissant les paramètres orbitaux.
Calcul des paramètres orbitaux avec les références de J2000 connaissant le rayon vecteur r et la vitesse v. C'est le symétrique de par_rv_w.exe (ci-dessus)
Calcul des vecteurs fondamentaux ( h, e, n ) dans le repère associé à J2000, connaissant le tir absolu par le couple vectoriel r, V à l'instant t.
Calcul des composantes de r et v dans le repère associé à J2000 connaissant les conditions de tir relatives dans le repère géographique local ENZ. Ce calcul prépare rv_par_w.exe (plus haut), c'est aussi le symétrique du programme qui suit.
Cacul des composantes relatives de la vitesse V dans ENZ connaissant les composantes de r et v dans le repère associé à J2000. C'est le symétrique du programme précédent.


PROBLEME DE GIBBS

Le problème de GIBBS consiste à déterminer une orbite képlérienne connaissant 3 rayons vecteurs de cette orbite. En pratique c'est la donnée d'une station radar sur un objet volant qui permettra par 3 contacts radar la connaissance des 3 rayons vecteurs.

Nous supposons ces rayons connus dans un repère fixe de J2000.

Les formules ci-dessus donnent donc les caractéristiques essentielles de l'orbite. De plus on a:

On peut cependant déterminer complètement les paramètres orbitaux en calculant à un instant t le couple R V (rayon vecteur-vitesse) et en utilisant la routine qui suit (activer le bouton programme)


   GRAVITATION


GRAVITATION NEWTONIENNE
 FORCE DE GRAVITATION NEWTONIENNE

On appelle ainsi la force créée par un astre de masse M, formé de couches concentriques sphériques, homogènes.

μ est la constante de gravitation du satellite ou du corps attiré

	: constante de gravitation universelle
Voir aussi

Gravitation réelle

Potentiel

Constantes, caractéristiques  des astres: SOLEIL, MERCURE, VENUS,

TERRE, MARS, JUPITER, SATURNE, NEPTUNE, PLUTON, LUNE

Sphère d'influence d'une planète


Potentiel newtonien

Voir aussi:     Calcul du gradient           Gravitation réelle                 Force de gravitation

On appelle ainsi le potentiel créé par un astre de masse M, formé de couches concentriques sphériques, homogènes.

m est la constante de gravitation du satellite ou du corps attiré

	: constante de gravitation universelle
La force se déduit du potentiel scalaire par

Caractéristiques  des astres: SOLEIL,     MERCURE, VENUS,    TERRE, 	MARS,    JUPITER, SATURNE,      NEPTUNE, 	PLUTON, LUNE


GRAVITATION REELLE
GRAVITATION REELLE POUR LA TERRE

Voir aussi :       Héliosynchronisme,                   Perturbations gravitationnelles

La terre n'est ni sphérique (aplatissement polaire de 20 km), ni homogène par couches concentriques et présente des irrégularités de surface.

La représentation de son potentiel est complexe, par des séries. Les ouvrages spécialisés fournissent ces développements.  Donnons celui très simple qui fait apparaître les premiers termes, associés à la forme de la terre.


Rayon vecteur de la position mesuré

       depuis le centre de la terre.


Rayon équatorial terrestre.

              RT = 6378 km


POLYNÔMES DE LEGENDRE


λ est la latitude géocentrique

         -90° < λ <90°


COEFFICIENTS Jn

Ces coefficients représentent les défauts de forme

de la terre.

J2  traduit l'influence de

l'aplatissement polaire

J3 est associé à la forme

de "poire" de la terre


 CARACTERISTIQUES DU SOLEIL

Rayon estimé R = 696000 km

Constante Gravitationnelle


MERCURE
               CARACTERISTIQUES DE MERCURE

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon R = 2487 km Période T = 87.97 jours                        Inclinaison i = 7°.004 Excentricité e = 0.2056	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


           CARACTERISTIQUES DE  LA TERRE

Nom du plan orbital de la terre : ECLIPTIQUE

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon  R = 6378 km Période T = 365.256  jours Inclinaison i = 0° Excentricité e = 0.0167	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre
RAPPEL: 1 UA = 1 Unité astronomique

                           = Distance moyenne Terre-Soleil


                CARACTERISTIQUES DE  VENUS

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon  R = 6187 km Période T = 224.7 jours Inclinaison i = 3°.394 Excentricité e = 0.0068	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


                     CARACTERISTIQUES DE  MARS

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon  R = 3380 km Période T = 686.98 jours Inclinaison i = 1°.850 Excentricité e = 0.0934	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


              CARACTERISTIQUES DE  JUPITER

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon estimé R = 71370 km Période T = 4332.6 jours Inclinaison i = 1°.306 Excentricité e = 0.0482	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


Caractéristiques de Saturne
           CARACTERISTIQUES DE  SATURNE

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon estimé R = 60400 km Période T = 10759.2 jours Inclinaison i = 2°.489 Excentricité e = 0.0539	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


           CARACTERISTIQUES DE  URANUS

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon estimé R = 23530 km Période T = 30687 jours Inclinaison i = 0°.773 Excentricité e = 0.0514	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


           CARACTERISTIQUES DE  NEPTUNE

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon estimé R = 22320 km Période T = 60184 jours Inclinaison i = 1°.773 Excentricité e = 0.050	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


                CARACTERISTIQUES DE  PLUTON

Distance moyenne au soleil
Constante gravitationnelle
Rayon  R = 7016 Période T = 10759.2 jours Inclinaison i = 2°.489 Excentricité e = 0.0539	EPHEMERIDES par un clic souris  sur le livre


Caractéristiques de la lune
             CARACTERISTIQUES DE  LA LUNE

Constante gravitationnelle

Distance moyenne à la terre a = 384000 km

Rayon R = 1738 km


CALCUL D'UN GRADIENT


MOUVEMENTS KEPLERIENS


RUBRIQUES ESSENTIELLES  y compris adresses cachées

COORDONNEES CARTESIENNES

PARAMETRES DE LA CONIQUE

ENERGIE ET DEMI GRAND AXE

EXCENTRICITE

CONSTANTE DES AIRES

Distance asymptote-foyer

Vitesse radiale - orthoradiale

MOUVEMENT KEPLERIEN;Képler

LOI DES AIRES

 Visualisation

EQUATION DE L'ENERGIE

KEPLER

NEWTON

ORBITES DES CORPS EN MOUVEMENT KEPLERIEN

GENERALITES SUR L'ELLIPSE (en hypergraphique)

LONGUEURS CLASSIQUES

REPERE PERIFOCAL

POINTS CARACTERISTIQUES

TRAJECTOIRE ELLIPTIQUE

DEFINITION BIFOCALE

Definition bifocale de l'hyperbole

EQUATION POLAIRE D'UNE CONIQUE

EQUATION CARTESIENNE

PARAMETRAGE ELLIPSE OU HYPERBOLE

PARAMETRAGE PAR L'ANOMALIE EXCENTRIQUE (Ellipse)

ANOMALIE MOYENNE


MOTS CLES

Equation de l'énergie

demi grand axe

Képler

Newton

Mouvements képlériens

Ellipse

parabole

hyperbole

Figure générale pour l'ellipse

Anomalie vraie

Apogée

Périgée

Ellipse

Longueurs classiques pour l'ellipse

Repère périfocal

Périgée

Apogée

Foyer

Sommets

TRAJECTOIRE ELLIPTIQUE

Définition bifocale (ellipse ou hyperbole)

 Définition bifocale (ellipse ou hyperbole)

Equation polaire

Anomalie vraie

Equation cartésienne

Paramétrage ellipse ou hyperbole

Anomalie excentrique

Paramétrage de l'ellipse

Calcul du temps

Anomalie vraie

Anomalie moyenne

Moyen mouvement:Vitesse angulaire moyenne


RAYON VECTEUR


COORDONNEES CARTESIENNES
COORDONNEES CARTESIENNES DANS LE REPERE PERIFOCAL

ϕ est un paramètre angulaire variant de O à 2π pour l'ellipse.

ϕ est un paramètre parcourant l'ensemble des réels pour l'hyperbole.


PARAMETRES DE LA CONIQUE

e est l'excentricité ou la norme du vecteur excentricité.

Voir :Vecteurs fondamentaux


 ENERGIE ET DEMI GRAND AXE


 EXCENTRICITE

Φ est le demi angle d'ouverture des asymptotes de l'hyperbole.

h est le moment cinétique réduit et e le vecteur excentricité.


CONSTANTE DES AIRES

S est l'aire balayée par le rayon vecteur.


Distance asymptote-foyer
 LONGUEURS CLASSIQUES DANS L'HYPERBOLE

Φ est le demi angle d'ouverture des  asymptotes de l'hyperbole, rp=OA


Vitesse radiale - orthoradiale


MOUVEMENT KEPLERIEN;Képler
                                          MOUVEMENT KEPLERIEN

On appelle ainsi le mouvement d'un corps sous la seule action d'une attraction dérivant d'un potentiel newtonien. La force est donc suivant l'inverse du carré de la distance.

Képler montra expérimentalement que la trajectoire est une conique.

Newton connaissant de plus le calcul différentiel découvrit la loi de la gravitation universelle et confirma les résultats de Képler.

Un tel mouvement satisfait à 2 grandes lois de conservation:

Du moment cinétique (loi des aires), entraînant un mouvement

plan.

De l'énergie cinétique (voir énergie spécifique ).


  LOI DES AIRES

Elle traduit la conservation du moment cinétique réduit h. K est appelée constante des aires. En effet le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux. Si S est l'aire on a:

Voir figure en pop-up

Voir aussi: Vecteurs fondamentaux


Visualisation


 EQUATION DE L'ENERGIE

La conservation de l'énergie s'exprime par une loi de conservation

E est l'énergie spécifique (Joules), mais si V est en km/s alors E est

exprimée en Km²/s² .


KEPLER
             KEPLER Jean (1571-1630 )

Astronome cet mathématicien allemand.

Il énonça ses fameuses lois des orbites en 1609.

Loi des orbites (Ellipses)

loi des aires

Loi des révolutions sur les périodes


NEWTON
             NEWTON Isaac  1642-1727

Astronome, physicien et mathématicien anglais.

Découvre la loi de la gravitation universelle à 23 ans.

Découvre le calcul différentiel.

Il travailla ensuite 20 ans pour approfondir sa théorie qu'il

publia dans:

PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA

Il marque le début de la science et des idées modernes.


ORBITES DES CORPS EN MOUVEMENT KEPLERIEN

Les orbites sont des coniques:

Ellipse ( le cercle est un cas particulier important)

Hyperbole (départ des voyages interplanétaires)

Parabole (physiquement improbable)

Droite (chute libre vers le centre attirant)

Le mouvement est plan (Képler--> loi des aires)

Le corps principal attirant est un foyer de la conique.

Voir:  Figure générale et longueurs caractéristiques pour l'ellipse

Définition bifocale (ellipse et hyperbole)

         Equation polaire

         Equation cartésienne

         Paramétrage


GENERALITES SUR L'ELLIPSE (en hypergraphique)


LONGUEURS CLASSIQUES
 LONGUEURS CLASSIQUES (Ellipse)

a = IA = IP	demi grand-axe (lié à l'énergie E)

b = IB	demi petit axe

c = IO	demi distance focale

p = OH = a(1-e²)	paramètre

ra =a(1+e)	rayon vecteur à l'apogée

rp = a(1-e)	rayon vecteur au périgée


REPERE PERIFOCAL

 • P est  le vecteur unitaire qui pointe le périgée

NB: le vecteur excentricité pointe aussi le périgée.

.

• W unitaire porte le moment cinétique, c'est l'axe de mesure de la vitesse angulaire.

 Q Complète le repère PQW

Voir aussi: vecteurs fondamentaux


POINTS CARACTERISTIQUES

A,P sommets du grand axe

A apogée (Terre) Aphélie (Soleil) Apoastre (astre) Apolune

P périgée (Terre) périhélie (Soleil) périastre (astre) périlune (Lune)

B sommet du petit astre.  I centre de l'ellipse.

O foyer actif dans un mouvement képlérien.

M satellite en orbite.


TRAJECTOIRE ELLIPTIQUE

r rayon vecteur mesuré depuis le centre attractif.O
θ angle polaire mesuré dans le sens du mouvement à partir de P.

V la vitesse au point courant

Va  Vitesse à l'apogée                                         Vp  Vitesse au périgée


DEFINITION BIFOCALE
  DEFINITION BIFOCALE DE L'ELLIPSE

L'ellipse est définie comme l'ensemble des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes O et F, appelés foyers, est constante et égale au diamètre de l'ellipse. La tangente en M est bissectrice extérieure des rayons vecteurs MO et MF


 Definition bifocale de l'hyperbole

L'hyperbole est définie comme l'ensemble des points du plan dont la différence des distances à deux points fixes O et F, appelés foyers, est constante et égale au diamètre de l'ellipse.

La tangente en M est bissectrice intérieure des rayons vecteurs MO et MF.


EQUATION POLAIRE D'UNE CONIQUE

Dans le repère périfocal O PQ , l'équation en coordonnées polaires

r rayon vecteur

θ angle polaire ou anomalie vraie

e excentricité

VOIR Equation cartésienne

Paramétrage


EQUATION CARTESIENNE

Dans les axes de symétrie de la conique,

X étant le grand axe, on a :

VOIR Equation polaire

Paramétrage


PARAMETRAGE ELLIPSE OU HYPERBOLE

 	ELLIPSE:	X = acosϕ	Y = bsinϕ

HYPERBOLE	X = achϕ	Y = bshϕ

Voir:Equation polaire

       Equation cartésienne


PARAMETRAGE PAR L'ANOMALIE EXCENTRIQUE (Ellipse)

L'anomalie excentrique ϕ varie de 0 à 2π paramètre M' et M

Voir aussi: le calcul des vecteurs r et V en fonction de φ, P, Q

                      Anomalie moyenne M


ANOMALIE MOYENNE
ANOMALIE MOYENNE et MOYEN MOUVEMENT

On appelle ANOMALIE MOYENNE la quantité M:

M varie linéairement en fonction du temps orbital. n s'appelle le moyen mouvement ou vitesse angulaire moyenne.


PARAMETRES ORBITAUX
A PROPOS DES PARAMETRES ORBITAUX


DEFINITIONS DES PARAMETRES ORBITAUX

FIGURE DES PARAMETRES ORBITAUX

INCLINAISON ORBITALE

ASCENSION DROITE DE LA LIGNE DES NOEUDS

ARGUMENT NODAL DU PERIGEE

LIGNE DES NOEUDS

LIGNE VERNALE

MOMENT CINETIQUE REDUIT

VECTEURS FONDAMENTAUX

CALCUL DES PARAMETRES ORBITAUX

CALCUL DE LA POSITION-VITESSE A L'AIDE DES PARAMETRES ORBITAUX


RUBRIQUES TRAITEES

DEFINITIONS DES PARAMETRES ORBITAUX

FIGURE DES PARAMETRES ORBITAUX

INCLINAISON ORBITALE

ASCENSION DROITE DE LA LIGNE DES NOEUDS

ARGUMENT NODAL DU PERIGEE

LIGNE DES NOEUDS

LIGNE VERNALE

MOMENT CINETIQUE REDUIT

VECTEURS FONDAMENTAUX

CALCUL DES PARAMETRES ORBITAUX

CALCUL DE LA POSITION-VITESSE A L'AIDE DES PARAMETRES ORBITAUX

MOTS CLES

Figure de paramètres orbitaux

Inclinaison orbitale

Ascension droite de la ligne des noeuds

Longitude vernale de la ligne des noeuds

Argument nodal du périgée

Ligne des noeuds

vecteur nodal

Ligne vernale

Moment cinétique réduit

Constante des aires

Vecteurs fondamentaux

Vecteur excentricité

Vecteur nodal

Moment cinétique réduit

Calcul des paramètres orbitaux

Calcuk de r et V connaissant les paramètres orbitaux

Calcul de P, Q, W

de r et V connaissant les paramètres orbitaux

Calcul de P, Q, W


DEFINITIONS DES PARAMETRES ORBITAUX

Voir              Calcul des paramètres orbitaux                              Vecteurs fondamentaux

On appelle ainsi un ensemble de 6 paramètres et d'une date permettant de repérer la position d'un satellite sur son orbite à une date quelconque.

1 -  a: demi grand axe de la conique

2 -  e: excentricité

3 -  i: inclinaison orbitale

4 − ω: argument nodal du périgée

5 − Ω: Ascension droite ou longitude vernale de la ligne des noeuds

6 -  le sixième paramètre est plus varié. Son choix dépend de   	l'étude menée, il peut avoir plusieurs aspects:

tp : date de passage au périgée

ϕo: Anomalie excentrique à une date to

θo : Anomalie vraie à une date to

Mo=ϕo-esinϕo : Anomalie moyenne à une data to

Toutes ces valeurs sont liées par les relations classiques:

La donnée de l'instant t fixera ainsi définitivement la position du satellite

sur l'orbite :


FIGURE DES PARAMETRES ORBITAUX


  INCLINAISON ORBITALE

C'est l'angle entre soit:

Le plan équatorial et le plan orbital

Les vecteurs K et W (ou h )

mesuré positivement de 0 à 180° autour

du vecteur nodal n.

i=0 orbite équatoriale

i=7°2 Orbite GTO Ariane

i=90°: orbite polaire

i>90° voir satellites héliosynchrones

              Figure des paramètres orbitaux


 ASCENSION DROITE DE LA LIGNE DES NOEUDS

Ω est l'angle entre la ligne vernale et la ligne des noeuds n de l'orbite, mesuré de 0 à 360° positivement autour de l'axe K.Ce paramètre est capital pour positionner l'orbite par rapport aux étoiles.

Voir Figure des paramètres orbitaux


 ARGUMENT NODAL DU PERIGEE

ω est l'angle entre la ligne des noeuds n  et le vecteur P ou e qui pointe le périgée de l'orbite, mesuré de 0 à 360° positivement  autour de l'axe W qui porte le moment cinétique réduit h.

Ce paramètre est capital pour positionner le grand axe de l'orbite par rapport aux étoiles.     Voir Figure des paramètres orbitaux


            LIGNE DES NOEUDS

On nomme ainsi l'intersection n du plan équatorial

et du plan orbital. Cette ligne passe par les noeuds:

N ascendant lorsque le satellite

passe de l'hémisphère sud au

nord

N' noeud descendant du nord

au sud.

Le vecteur nodal n pointe le noeud ascendant.


                LIGNE VERNALE

On nomme ainsi le vecteur I ou γ qui pointe

le soleil depuis la terre lorsque le soleil

passe au dessus de l'équateur à l'équinoxe

de printemps.

Ce vecteur est supposé fixe, mais en réalité

il précessionne de 50" d'arc par an autour

de l'axe nord écliptique, dans le sens

rétrograde (Précession de Hipparque).


 MOMENT CINETIQUE REDUIT

On nomme ainsi le vecteur constant:

Il est normal au plan orbital et induit

le sens du mouvement sur l'orbite.

Voir loi des aires

      Constante des aires


    VECTEURS FONDAMENTAUX

Données: les vecteurs r et V dans I J K (J 2000)

Vecteur moment cinétique réduit h, normal au plan orbital

Vecteur nodal n, pointant le noeud ascendant

Vecteur excentricité e, pointant le périgée P


CALCUL DES PARAMETRES ORBITAUX
CALCUL PARAMETRES ORBITAUXVoir vecteurs fondamentaux


CALCUL DE LA POSITION-VITESSE A L'AIDE DES PARAMETRES ORBITAUX

Voir       Calcul des paramètres orbitaux                                   Vecteurs fondamentaux

Données: Le temps t, les paramètres orbitaux a, e, i, ω, Ω, tp:

1- Calcul de ϕ

2-Calcul de P, Q, W par leurs composantes dans I J K (J 2000)

3- Expression vectorielle des vecteurs r et V